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Capítulo XXII: El Rigor en las Matemáticas

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22.4 Rigor: una perspectiva histórica

En buena medida, el corazón de los procesos de aritmetización y rigorización de las matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la búsqueda por eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había predominado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la construcción y validación de las matemáticas. Era importante ofrecer fundamentos lógicos y nociones más precisas en el edificio de las matemáticas, a potenciar sus fundamentos, sin embargo a veces se aprecia un distanciamiento de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptos e ideas que dieron origen al cálculo.

Para algunos, el corazón de la construcción matemática se encuentra exactamente en esas dimensiones lógicas y formales, en un divorcio muy drástico con las nociones derivadas de la intuición, la geometría visual, la apelación al mundo empírico, que "contaminaron'' los orígenes de las matemáticas. No está claro, sin embargo, que la construcción matemática pueda restringirse a esas dimensiones lógicas y que se pueda desprender de la intuición.

La aritmetización del análisis y la fundamentación del cálculo deben sumergirse dentro de un escenario que ofreció la evolución específica de nuevas matemáticas durante el siglo XIX. Es el mismo contexto del álgebra abstracta, de la emersión de las geometrías no euclidianas, y de un nuevo carácter en estas disciplinas. En esa dirección avanzó un proceso de formalización y axiomatización de las matemáticas en la que participarían varios importantes matemáticos. En particular, debe consignarse la obra de Peano que jugó un papel importante en la potenciación de las caraterísticas de algunos de los métodos abstractos en las matemáticas modernas, como señala Bell:

"Los orígenes del método abstracto y de la manera crítica de abordar las matemáticas parece que están situados concretamente pocos años después de 1880. No atrajeron mucho la atención hasta que en 1889 Hilbert publicó su obra sobre los fundamentos de la geometría y hasta que, por aquella misma época, señaló la importancia básica que tenía para todas las matemáticas el demostrar la consecuencia de la aritmética común. Pero parece atribuirse el impulso inicial a Peano (italiano, 1858 - 1932) con sus postulados de la aritmética (1889). Siguiendo el programa euclidiano, Peano emprendió la tarea de reducir la aritmética común de un conjunto explícitamente enunciado de postulados tan libres de hipótesis implícitas como pudo hacerlos. El método postulacional es el origen del moderno movimiento crítico y de la tendencia hacia la abstracción.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 278]

Con los propósitos de desgeometrizar el cálculo, potenciar la deducción lógica en los fundamentos, se planteó un reduccionismo de conceptos. Por ejemplo, la reducción de los números irracionales a nociones aritméticas. Se quiera o no, este proceso implicó nuevos niveles de abstracción y, lo que a veces no suele reconocerse, la introducción de supuestos teóricos sobre la existencia y la naturaleza de las entidades matemáticas. Estos supuestos a veces expresados de una manera explícita y a veces presentes de una manera implícita. Debe decirse, que esta actitud reduccionista, que buscaba la unidad en la diversidad matemática, obligaba a un replanteamiento sobre la naturaleza de las matemáticas e incluso sobre todo el conocimiento. Es por eso mismo que a finales del siglo XIX y en la primera mitad del siglo XX se dio un proceso de discusión filosófica y matemática sobre los fundamentos últimos de estas disciplinas.

Durante el XIX se dio un énfasis en la aritmética y el álgebra, por encima de la geometría. Esto fue así tanto por las inconsistencias del cálculo (en la definiciones, en las series, etc.) y también como una respuesta al impacto producido por las geometrías no euclidianas. Para la mayoría de los matemáticos, la geometría euclidiana se aceptó "acríticamente'' por haber asumido la intuición como punto de referencia. La emersión de geometrías no euclidianas se leyó como el reclamo por eliminar la intuición.

El énfasis en procesos demostrativos algebraicos y aritméticos respondió tanto a las necesidades conceptuales propiamente de las matemáticas como a las necesidades de la comunidad matemática (incluso psicológicas). Hasta cierto punto, cierto temor, incertidumbre e inseguridad en los matemáticos, los de carne y hueso, fue factor central de esta evolución. Como siempre, en la ciencia y las matemáticas en particular, los criterios que se aceptan responden, también, a las percepciones (incluso temores y rivalidades) de la comunidad practicantes.

Ya volveremos sobre esta temática, que plantea una reflexión más bien filosófica.

 


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