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Capítulo XXIV: Racionalismo y Matemáticas en la Modernidad

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24.2 Descartes

Nadie se atrevería a dudar del papel jugado por Descartes en las matemáticas: la geometría analítica, cuya paternidad también debe dársele a Fermat, resultó esencial para la constitución del Cálculo y, por ende, de la matemática moderna. Pero Descartes fue, sobre todo, un filósofo que tuvo mucha proyección, y en cuyo pensamiento se nota una profunda influencia de las matemáticas y de las ideas que sobre ésta se tienen en su tiempo. Vayamos ahora a estudiar los aspectos generales de su método.


Capitulo_24__2.jpgDescartes, estampilla.

El método en la filosofía

Descartes afirmaba la posibilidad de establecer un método que nos pueda conducir a un conocimiento profundamente nuevo de la verdad de las cosas. Este se basaba en el "método de los matemáticos.'' ¿Cuál es ese método? Ya veremos. En su Discurso del método dice:

"Encontraba placer sobre todo con las matemáticas, a causa de la certeza y evidencia de sus razones; pero yo no notaba aún su verdadero uso y ... me extrañaba de que, siendo sus cimientos tan firmes y tan sólidos, no se hubiera construido sobre ellos nada más levantado.'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 18]

Esto es lo central.

Para Descartes, las ideas que surgen de la experiencia sensible no expresan la verdadera naturaleza de las cosas. Los sentidos siempre nos pueden engañar. Por eso propuso ir a las ideas internas, innatas, que no admiten duda. Estas ideas innatas, sin embargo, van a traer consigo el descubrimiento de verdades garantizadas, solo que por medio de Dios. Critica a los empiristas por no salirse de los sentidos. Afirmaba Descartes: "... en el sentido (...) la idea de Dios y del alma no han estado nunca.'' Esos filósofos a los que critica "...no elevan nunca su espíritu más allá de las cosas sensibles ... y todo lo que no es imaginable les parece no ser inteligible.'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 50]

Descartes intentará reducir los datos de la experiencia a las ideas claras de la razón, de la mente. Y para eso propuso acudir a lo que cree son las matemáticas. ¿Por qué? Para él, los matemáticos han establecido ya que existen medios para demostrar cómo un movimiento engendra una verdad de otra; es decir, nuestra razón logra justificar la naturaleza, su verdad, puesto que comprendemos sus leyes.

¿Qué es verdadero? ¿Cómo establecer que una idea o proposición o teoría sea verdadera? Se requieren criterios de verdad. Podría ser la recurrencia a la experiencia sensorial, como en el Empirismo. Pero no. ¿Qué planteaba Descartes? Decía que el criterio de verdad se establece a partir de las ideas claras y distintas que están en el espíritu y la aplicación de su método. ¿Cómo se logra el conocimiento de la verdad? La primera regla:

"1) ... no aceptar nunca ninguna cosa como verdadera si yo no la conociera ser tan evidentemente, es decir, evitar cuidadosamente la Precipitación y la Prevención; y no incluir en mis juicios nada más que lo que se presente tan clara y distintamente a mi espíritu que no tuviese ninguna ocasión de ponerlo en duda.'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 30]

Entonces, para Descartes existen proposiciones cuya verdad se impone al espíritu, como, por ejemplo, el llamado cógito: "Yo pienso, luego existo.'' Hay una razón que permite determinar lo verdadero de lo falso sin salirse de sí mismo, se logra concebir ideas sin necesidad de recurrir al cuerpo sensorial.

¿Cómo es eso? Descartes dice que esa mirada del espíritu sobre las nociones que le son inmediatamente presentes es la intuición. Pero: ¿cómo afirmar aquí la certeza? Esta no podrá engañarnos siempre que sea clara y distinta. Entonces: la verdad nos es dada y debemos comprobarla en nosotros mismos. Repetimos: la verdadera experiencia es interior y no exterior al espíritu. Aquí está la clave.

En Descartes, al considerarse ideas complejas, se debía partir primero de las ideas simples, para constituir de nuevo las ideas complejas. Este tipo de deducción lleva en sí dos momentos principales: el análisis y la síntesis. Recuérdese cómo en matemáticas a veces se parte de los resultados por demostrar, y por medio de la deducción se trata de llegar a proposiciones más simples que se saben verdaderas. Un método clásico de demostración.

El análisis de Descartes se apoya en la enumeración de todos los objetos conocidos o desconocidos, que se designan mediante símbolos.

Todo lo anterior se expresa precisamente en la segunda regla de su método:

"2) ... dividir cada una de las dificultades que examinaría en tantas parcelas como se pudiera y fuera requerido para resolverlas mejor.''

Y la tercera:

"3) ... conducir ordenadamente mis pensamientos comenzando por los objetos más sencillos y más fáciles de conocer, para ascender, poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más complejos; e incluso suponiendo un orden entre los que naturalmente no se preceden unos a otros.'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 30]

¿Qué es el análisis? Su objeto es investigar en una verdad o una realidad particular los principios de los cuales se deriva, los principios de donde se deduciría por síntesis.

Aquí se define la naturaleza de la deducción en Descartes, con toda precisión. La intuición es la única manera de conocer. Es preciso entonces, que la deducción sea una intuición continua, es preciso que pasemos de una intuición a otra nueva por la intuición de su relación.

La cuarta regla de su método es:

"... hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan generales que estuviera seguro de no omitir nada.'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 30]

Sólo la intuición intelectual capta los vínculos necesarios entre los términos para guiar el progreso de la inferencia. Por eso, la enumeración, dentro del análisis, desempeña una segunda función en el proceso deductivo, que consiste en controlar la continuidad en la cadena de los razonamientos. Bajo este método, la totalidad de nuestros conocimientos exige que éstos se sigan unos a otros, de la misma manera en que se siguen los términos conocidos de los desconocidos en una ecuación matemática.

Así, pues, tenemos que la reducción del conocimiento a verdades innatas es similar a una forma axiomática. La teoría del conocimiento de Descartes está basada en principios tan claros y distintos que no necesitan explicación: su veracidad está garantizada por Dios, que crea todas las cosas, las esencias y las existencias, "las verdades eternas'' que gobiernan el universo y regulan nuestra razón.

Para Descartes:

"... nuestras ideas o nociones siendo cosas reales y que provienen de Dios en todo aquello en que son claras y distintas, no pueden ser en esto sino verdaderas'' [Descartes, R.: Discurso del método, p. 51

Más aún: era preciso, por necesidad,

"que hubiese algún otro más perfecto del cual yo dependiera y del cual yo hubiese adquirido todo lo que yo tenía.'' [Descartes, R.: Discurso del método , p. 48]

El llamado cógito cartesiano: "pienso, luego existo'', es el principio y modelo para establecer una evidencia indudable. Es la coincidencia entre el acto de pensar y el yo. "Veo muy claramente que para pensar hay que ser'', concluye Descartes.

El mundo en Descartes

¿Cómo analiza el mundo? Con un método semejante. El mundo está determinado en Descartes por la extensión. Además de la Sustancia Infinita que es Dios, aparecen las dos sustancias finitas: la sustancia pensante (el hombre) y la sustancia externa (el mundo).

Según Descartes, los cuerpos existen en cuanto extensos y la idea clara de la extensión es concebida en nuestro entendimiento, con la misma certeza que en las matemáticas. Además: donde hay extensión hay materia.

De hecho, Descartes recurre a las extensiones geométricas para identificarlas con la materia física. Las cosas materiales (las figuras, los tamaños y los movimientos) se diversifican entre sí en el entendimiento según las reglas y principios de la geometría y la mecánica. Ya retomaremos esto.

Para Descartes su método es un instrumento de aplicación universal. Todos los conocimientos especiales pueden generarse a partir de éste. Bien señala Cassirer:

"Lo mismo que todos los números brotan de una operación exactamente determinada, que es la numeración, todos los conocimientos especiales se obtienen y solo pueden obtenerse por medio del 'método'; y así como aquí el camino conduce a lo limitado, aunque la dirección del progreso aparece trazada de antemano de un modo preciso e inequívoco, así también, sin cerrarnos a la plenitud infinita de la experiencia, debemos aspirar a dominarla por medio de un plan y un bosquejo fijo y predeterminado del pensamiento.'' [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 476]

¿Y la experiencia sensorial? Descartes no niega la intervención de la experiencia, solo que ésta aparece en un plano diferente: la dirección viene establecida por el método. Se contrapone al Empirismo, pero no para eliminar la experiencia, sino para ponerla en otra posición.

Matemáticas y metafísica

Uno de los problemas con el enfoque de Descartes con esta metodología matematizante es que se introducen premisas metafísicas aparte del reduccionismo axiomático. Como un todo, sin embargo, el énfasis en el valor de la matemática resulta muy importante, debido al relevante papel de las matemáticas en la construcción del conocimiento moderno.

¿Juegan las matemáticas y la metafísica papeles importantes en la definición del método cartesiano? Sí, sin duda. Las matemáticas, el álgebra y la geometría, definen un modelo epistemológico que enfatiza la deducción. Una primera característica. Pero, además, la metafísica sirve para justificar la aplicación o introducción de los conceptos matemáticos en la realidad. Descartes usa la metafísica para darle validez a su método y para, dentro de su esquema epistemológico deductivo, justificar la verdad de sus axiomas y primeros principios. Si abstraemos la metafísica, tenemos simplemente el modelo de las matemáticas, tal y como era concebido por él.

Si se le "perdonan'' a Descartes sus extrapolaciones y la presencia metafísica, su método, como valoración del espacio y posibilidades de las matemáticas, aporta considerablemente a la definición de la ciencia moderna. Es necesario reconocer -lo que en la tradición empírico-positivista no ha sido el caso normalmente- el valor epistemológico de las ideas cartesianas.

Hay que colocarse en el escenario histórico que vivió este filósofo y matemático. Descartes devuelve a la razón humana un papel que los escolásticos habían reducido a la interpretación del verbo divino. No es éste ya mero receptor, sino que actúa de manera activa, aunque el fundamento sea mental y no esencialmente empírico. Descartes se separa del "apriorismo'' escolástico, aunque, ya en análisis profundo, contribuye a edificar un apriorismo de nuevo tipo.

Es nuestra opinión que las tendencias dominantes en la filosofía de las matemáticas han sido heredadas de este tipo de apriorismos que en la Modernidad se vieron apuntaladas por este esquema cartesiano.

Existen en Descartes ideas que encierran contradicción. Bien señala Russell:

"Hay en Descartes un dualismo no resuelto entre lo que lo aprendió de la ciencia contemporánea y el escolasticismo que le enseñaron en La Flèche. Esto le llevó a contradicciones, pero también le hizo más rico en ideas fructíferas de lo que hubiera podido haber sido un filósofo completamente lógico.'' [Russell, B.: Historia de la filosofía occidental, Vol II, p. 190]

Incluso, a pesar del valor que le daba a las matemáticas, y lo que entendía era su método, Descartes consideraba a las matemáticas como un método más que una ciencia. Mason informa:

"Descartes no se sentía atraído por la antigua idea pitagórica de que las consideraciones matemáticas determinaban la estructura del universo, la idea de que los perfectos cuerpos celestes deben poseer la forma perfecta de la esfera y de que sus movimientos deben ser circulares y uniformes. Para Descartes son consideraciones mecánicas las que determinan la forma y movimiento de los cuerpos celestes y ciertamente, de todas las operaciones de la naturaleza. Consideraba a las matemáticas como un instrumento metodológico, sintiendo muy poca simpatía por la actitud de los matemáticos puros. 'Nada hay más fútil que ocuparse de meros números y figuras imaginarias', escribía. Como Bacon, consideraba que los proyectos utilizados constituían un fin importante de la ciencia.'' [Mason, Stephen F.: Historia de las ciencias. La Revolución Científica de los siglos XVI y XVII. Madrid, p. 60]

Es necesario, como decíamos arriba, saber extraer las premisas metafísicas e inútiles, de las ideas originales y valiosas que han servido para progresar en la aventura del conocimiento y la ciencia.

Resumiendo: Descartes configuró buena parte de la aproximación racionalista en la epistemología, con base en una traslación de los criterios de verdad de la correspondencia con el ser (Aristóteles y escolásticos) a los de rigor, claridad y distinción de las ideas. Es decir, bastaba el análisis de las ideas en sí mismas (reduciéndolas a nociones más simples) para saber acerca de su verdad y falsedad. El recurso a la experiencia empírica, por otro lado, estaba descartado. Y, finalmente, su filosofía asumió y apuntaló una visión axiomática de las matemáticas.

Todas estas ideas apuntalan, también, la afirmación de que existe un mundo fuera de los sentidos y sus percepciones, que es más importante. Para el Racionalismo las matemáticas son una palanca decisiva. Esto lo consigna, por ejemplo, Russell:

"Creo que la matemática es la fuente principal de la fe en la verdad eterna y exacta y en un mundo suprasensible e inteligible. La geometría trata de círculos exactos, pero ningún objeto sensible es exactamente circular; por muy cuidadosamente que manejemos el compás, siempre habrá imperfecciones e irregularidades. Esto sugiere la idea de que todo el razonamiento exacto comprende objetos ideales, en contraposición a los sensibles; es natural seguir adelante y argüir después que el pensamiento es más noble que los sentidos y los objetos de la idea más reales que los que percibimos por los sentidos. Las doctrinas místicas respecto a la relación del tiempo con la eternidad también se apoyaron en las matemáticas puras, porque los objetos, como los números, si son reales, son eternos y no colocados en el tiempo. Estos objetos eternos pueden ser concebidos como pensamientos de Dios. De allí se deriva la doctrina de Platón de que Dios es un geómetra, y la de sir James Jeans de que Dios ama la aritmética. La religión racionalista en contraposición a la apocalíptica ha sido completamente dominada desde Pitágoras y, sobre todo, desde Platón, por las matemáticas y sus métodos.'' [Russell, Bertrand: Historia de la filosofía occidental, Tomo I, p. 56]

Hemos reseñado la influencia de las matemáticas en la filosofía, más bien una visión de éstas sobre la filosofía; ahora vamos a algunas de sus ideas precisas sobre las matemáticas.

Sobre las matemáticas

Para Descartes la matemática era la esencia de la ciencia.

Como ya lo hemos mencionado, Aristóteles afirmaba tres postulados en las ciencias deductivas o demostrativas: el postulado de la deductividad, el de la evidencia, y el de la realidad.

El primero afirma que una ciencia demostrativa se basa en un número de principios; entre ellos hay conceptos primitivos y verdades primitivas. Los conceptos se deben definir por medio de los conceptos primitivos y las verdades deducidas lógicamente de las verdades primitivas.

El de la evidencia señala que los conceptos primitivos deben ser tan claros que no se requiera ninguna definición; igual con los axiomas, son tan evidentes que los aceptamos como verdaderos sin demostración.

El postulado de la realidad exige que tanto los conceptos como las verdades se deben dirigir a entidades de la realidad.

Del modelo aristotélico, Descartes afirmaba la deducción y la axiomática, pero también la intuición.

Para Descartes, los conceptos de la matemática fueron puestos por Dios, son innatos. Es este el puente entre la deducción y la intuición. Los primeros principios fueron puestos por Dios y son absolutamente intuitivos, el resto en matemáticas es deductivo, aunque la deducción requiere de una intuición particular.

A pesar del valor que le otorgaba a las matemáticas, Descartes señalaba que el silogismo lógico no bastaba para producir la ciencia o para asegurar el razonamiento matemático. Dice en su Regla XIV:

"... puesto que las formas del silogismo no sirven para nada en cuanto a percibir la verdad, no será inútil al lector, tras haberlas rechazado completamente, el percatarse de que todo conocimiento que no se adquiere por la intuición pura y simple de un objeto aislado, se adquiere por comparación entre sí de dos o más objetos.''

Buscaba un fundamento mayor; si se quiere, una certeza mayor. Esto es interesante. Lo que Descartes añade es ese reclamo de una intuición. Y no solo la divina como en las ideas innatas, sino una intuición aplicada a un objeto intermedio. Por ejemplo, dice en su Quinta meditación:

"Cuando imagino un triángulo, si bien puede ser que no haya en lugar alguno del mundo, salvo en mi pensamiento, semejante figura, y que no la haya habido jamás, no por ello deja de haber cierta naturaleza, forma o esencia determinada de esta figura, la cual es inmutable y eterna, que yo no la he inventado y que no depende de modo alguno de mi espíritu; según aparece del hecho de que se puedan demostrar propiedades diversas de tal triángulo, a saber, que sus tres ángulos son iguales a dos rectos, que el ángulo mayor se apoya en el lado mayor, y otras semejantes, las cuales, quiéralo yo o no, reconozco ahora muy clara y evidentemente que están en él, por más que anteriormente no haya pensado en ellas de modo alguno... ''

Descartes, establecía la necesidad de una "contemplación'' de un objeto individual a la hora de realizar las conclusiones matemáticas. Es decir, el razonamiento matemático no está desprovisto de un objeto, que en su caso, como señala Beth, es del mismo tipo que emerge al referirse a un triángulo, "la esencia del triángulo''. Este objeto individual, es necesario en tanto la intuición necesita objetos particulares para actuar.

Aquí es necesario establecer una conclusión, que nos servirá para distinguir el pensamiento de Descartes. La intervención de la intuición en el razonamiento matemático establece una óptica diferente a la de la simple "deducibilidad'' lógica. Lo que conecta el edifico piramidal y axiomático es un conjunto de intuiciones y no la silogística. Se trata de un intuicionismo a priori que luego Kant va a continuar.

El postulado de la experiencia, ya puede usted concluirlo, no se afirma aquí, puesto que Descartes no le reconoció valor.

Una matemática universal

Descartes afirmaba, también, la idea de una matemática universal: un ideal esencial que resulta determinante para la ciencia y el conocimiento. Esta mathesis refiere a una combinación de álgebra, geometría y lógica. Como señala Cassirer:

"La lógica y la teoría de las magnitudes deben combinarse y unirse, para crear el nuevo concepto de la matemática universal. Esta nueva ciencia toma de la lógica el ideal de la construcción rigurosamente deductiva y el postulado de los primeros fundamentos 'evidentes' de la argumentación, al paso que determina el contenido que a estos fundamentos debe darse tomando como modelo la geometría y el álgebra.'' [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 454]

Esta matemática universal tendrá un alcance diferente con relación a que se considere el conjunto de la obra filosófica o cosmológica de Descartes o solo la parte estrictamente matemática. Brunschvicg dice:

"Queda por conocer cuál es exactamente, tomándolo en sí mismo, el alcance de esta matemática universal (...); la respuesta será diferente, según se considere la obra de Descartes en la filosofía general, es decir, la extensión del método matemático a la universalidad de problemas cosmológicos, o que se detenga únicamente a la obra que Descartes realiza en el dominio propio de la matemática por la reducción de los problemas de la geometría a los problemas del álgebra.'' [Brunschvicg, Leon: Les etapes de la philosophie mathematique, p. 107]

Se puede afirmar que la mathesis universalis cartesiana se reduce a una extensión de los métodos geométricos a los problemas de las ciencias.

La palanca teórica que utiliza es la redefinición del espacio en términos de extensión y proporción, como señala Gerd Buchdahl:

"El tema de que la extensión y comparaciones entre extensiones es la materia propia de la ciencia, ha sido previamente abordado más ampliamente en Regulae XII y XIV.'' [Buchdahl, Gerd: Metaphysics and the Philosophy of Science, p. 85]

Más aún:

"... es siempre el criterio general de la relación y la proporción el que sirve de punto de partida y de criterio de unidad. Por tanto, una ciencia pura de las 'relaciones' y 'proporciones' -independientemente de la propia peculiaridad de los objetos en que se expresen y tomen cuerpo- y la meta primera a que tiende el método.'' [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 454]

El establecimiento de proporciones es la base de la medición espacial; es esto lo que quiere decir cuando se refiere a la extensión.

Para Descartes, la extensión es un elemento constitutivo de la esencia de la matemática universal, pero también lo es el "orden'', y, con relación al espacio, también la "dimensión.'' La matemática universal de Descartes toma como punto de partida las ideas "claras y distintas'' de extensión y orden.

La reducción cartesiana a la extensión, sin embargo, no es una observación empírica. Se trata de una premisa metafísica frente al mundo. A través del cristal de lo "extenso'' el mundo va a poder ser desentrañado teóricamente por las reglas de la geometría. Se trata de hacer encajar el esquema a priori de las reglas geométricas. Este es un método clásico escolástico:

"... de sostener que un tratamiento científico exitoso de la naturaleza presupone su ser considerado bajo el aspecto de la extensión, Descartes se introduce en la aserción que la naturaleza (material) es esencialmente equivalente a la extensión, y que esto sólo nos justifica para postular la existencia de la ciencia genuina.'' [Buchdahl, Gerd: Metaphysics and the Philosophy of Science, p. 89-90.]

La mathesis universalis busca encerrar el conocimiento del mundo en un esquema matematizante. Se trata de englobar la ciencia a partir de lo deductivo matemático.

El mecanicismo cartesiano elevado a cosmología universal es geométrico; es espacial, el movimiento no es fundamental. Esta aproximación va a poseer una gran influencia en el pensamiento occidental.

Su contraposición epistemológica a una metodología empírica de aproximación a lo real influyó extraordinariamente en los siglos pasados. La traslación de los criterios de verdad de la correspondencia con el ser (Aristóteles y escolásticos) a los de rigor, claridad y distinción de las ideas, fue esencial en la construcción del Racionalismo moderno. Y en lo que nos interesa más en este libro, la participación de Descartes en la configuración de la reflexión moderna sobre la matemática no es nada despreciable.

Ahora bien, tanto para las matemáticas como para la ciencia en general, el énfasis racional y axiomático representa una debilidad. Aquí no hay heurística, no hay influjo de la experiencia ni de la práctica sensorial. El modelo de la geometría griega clásica es lo que se ha asumido como paradigma y premisa. Y, si se quiere, se ha asumido buena parte de la herencia de la tradición pitagórico-platónica sobre el papel de las matemáticas como recinto de verdad, certeza, perfección al margen de lo empírico y sensorial. Hay intuición pero es totalmente a priori. En las matemáticas no sería tan problemático como en las ciencias físicas en las que la heurística y la experiencia sensible son los factores decisivos.

 


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